游戏平衡机制的研究：以伤害期望为例

——基于蒙特卡洛仿真的统计学研究

X 经济与管理学院学号已脱敏笔者

摘要：

本研究通过构建简化的游戏战斗模型，比较两种不同武器在面对怪物时的击杀效率，采用蒙特卡洛仿真和期望分析方法，在此基础上引入暴击机制和伪随机补偿机制，从概率统计角度探讨武器平衡性的调整方法。研究表明，引入复杂机制可有效平衡武器性能，提升玩家体验。

关键词：游戏平衡、蒙特卡洛模拟、伪随机补偿

引言：

游戏设计中，武器平衡性是提升玩家体验和保持竞技公平性的关键因素。武器若存在显著优劣，会影响玩家选择与策略，甚至削弱游戏寿命。本文从概率论与数理统计角度出发，研究两种伤害模型各异的武器在击杀敌人所需攻击次数上的差异，并通过仿真数据量化差距。同时，引入现代游戏中常见的暴击机制与补偿机制，进一步分析其对武器平衡的影响。

1 方法：概率建模与蒙特卡洛仿真

我们将击杀怪物所需的攻击次数建模为一个随机变量问题。设怪物初始生命值为$H \in \mathbb{N}^{+}$，攻击所造成的伤害为离散随机变量 D，其概率分布由武器决定。

定义如下：

对于武器1，其伤害集合为

1	\mathcal{D}_{1} = \{ 1,2,3,4,5\}

，均匀分布，则每一项概率为：$\mathbb{P}(D = d) = \frac{1}{5}$ ，$\ \ d \in \mathcal{D}_{1}\$；

对于武器2，其伤害集合为

1	\mathcal{D}_{2} = \{ 2,3,4\}

，每一项概率为：$\mathbb{P}(D = d) = \frac{1}{3}$ $\ \ d \in \mathcal{D}_{2}$。

1.1 模型目标

我们感兴趣的目标是，击杀血量为H的怪物所需攻击次数的期望，记作$\mathbb{E}\lbrack N_{H}\rbrack$。

由于伤害是离散的、递减的非线性过程，难以通过解析方法直接求解，因此采用蒙特卡洛模拟逼近其期望值。

2 蒙特卡洛模拟方法

定义仿真轮数为 T（如 15000），每轮模拟过程如下[1]：

2.1初始化生命值

h: = H

，攻击计数 $n: = 0$

2.2 循环：直到

h \leq 0

2.3 随机从$`\mathcal{D}`$中抽取一次伤害

1	\ d \sim D

2.4 更新血量：

1	h: = h - d

2.5 累加攻击次数：

1	n: = n + 1

2.6 记录当前轮击杀所需次数 $`n`$

完成 T 次仿真后，期望估计值为：

1	\mathbb{E}\lbrack N_{H}\rbrack \approx \frac{1}{T}\sum_{i = 1}^{T}n_{i}

模拟结果如下（图1、图2）：

Screenshot 2025-05-30 at 14.58.52

图1 : 原始模型下预期击杀所需次数

Screenshot 2025-05-30 at 15.00.58

图2 : 原始模型下两把武器攻击次数的差值

3 扩展机制建模

我们进一步引入两个常见机制：

3.1暴击机制（Critical Hit）

设暴击概率为

，暴击倍率为

\beta

，则每次攻击的伤害变为：

D’ = \left\{ \begin{matrix}
\beta \cdot D, & p \\
D, & 1 - p
\end{matrix} \right.\

这使得$D’$成为混合分布，期望伤害为：

1	\mathbb{E}\lbrack D’\rbrack = (1 - p) \cdot \mathbb{E}\lbrack D\rbrack + p \cdot \beta \cdot \mathbb{E}\lbrack D\rbrack = \mathbb{E}\lbrack D\rbrack \cdot \lbrack 1 + p(\beta - 1)\rbrack

模拟结果如下（图3、图4），可以看出不同武器差值有所下降：

Screenshot 2025-05-30 at 15.05.23

图3 : 引入暴击后预期击杀所需次数

Screenshot 2025-05-30 at 15.07.58

图4 : 引入暴击后两把武器攻击次数的差值

3.2 伪随机补偿机制（Pity System）

为模拟玩家体验优化系统，引入线性补偿机制[2]：若连续

\ k

次未暴击，则下一次暴击概率提高到：

1	p_{k} = \min(1,p + \delta \cdot k)

其中

\delta

为每次未暴击后暴击概率的递增量。这种机制通过控制波动，缓解概率失控问题。

模拟结果如下（图5、图6），可以看出不同武器差值进一步下降，平衡性补偿更好：

Screenshot 2025-05-30 at 15.10.36

图5 : 引入伪随机后预期击杀所需次数

Screenshot 2025-05-30 at 15.11.56

图6 : 引入伪随机后两把武器攻击次数的差值

4 结论分析

仿真数据显示，在基础模型下，武器2在大多数血量下击杀效率更高（期望攻击次数更少），只有当 $HP = 5$ 时武器1略有优势。
引入暴击机制后，若暴击分布均匀，武器1受益更大，因其基础伤害波动大，暴击后最高可达10。
进一步引入伪随机补偿机制后，两武器在整体期望上更为接近。说明补偿机制有助于平衡武器输出的一致性。

5 展望

未来研究可将模型扩展到更复杂的 RPG 战斗系统，如加入技能冷却、状态异常、敌人抗性等机制。同时可尝试更多平衡设计的自动化验证方法（如强化学习驱动的测试角色模拟）。

参考文献：

[1] 朱陆陆.蒙特卡洛方法及应用[D].华中师范大学,2014.

[2] 陈海龙,李宏.基于MATLAB的伪随机序列的产生和分析[J].计算机仿真,2005,(05):98-100.

案例代码：

Test 1 ：

	import random
	import matplotlib.pyplot as plt
	# === 配置参数 ===
	MAX_HP = 50 # 最大怪物血量
	TRIALS_PER_HP = 15000 # 每个血量下的仿真次数
	# 武器伤害范围
	weapon1_range = [1, 2, 3, 4, 5] # Weapon 1: 1~5
	weapon2_range = [2, 3, 4] # Weapon 2: 2~4
	# 存储期望攻击次数
	expect1 = []
	expect2 = []
	# 蒙特卡洛函数
	def simulate_kill(hp, damage_range, trials):
	total_attacks = 0
	for _ in range(trials):
	current_hp = hp
	attacks = 0
	while current_hp > 0:
	damage = random.choice(damage_range)
	current_hp -= damage
	attacks += 1
	total_attacks += attacks
	return total_attacks / trials
	# 进行仿真
	hp_range = list(range(1, MAX_HP + 1))
	print("正在进行蒙特卡洛仿真，请稍候...")
	for hp in hp_range:
	e1 = simulate_kill(hp, weapon1_range, TRIALS_PER_HP)
	e2 = simulate_kill(hp, weapon2_range, TRIALS_PER_HP)
	expect1.append(e1)
	expect2.append(e2)
	print("仿真完成。开始绘图...")
	# === 绘制期望攻击次数图 ===
	plt.figure(figsize=(10, 6))
	plt.plot(hp_range, expect1, label='Weapon 1 (1~5 dmg)', marker='o')
	plt.plot(hp_range, expect2, label='Weapon 2 (2~4 dmg)', marker='s')
	plt.xlabel('Monster HP')
	plt.ylabel('Expected Hits to Kill')
	plt.title('Expected Hits vs Monster HP (Monte Carlo Simulation)')
	plt.legend()
	plt.grid(True)
	plt.tight_layout()
	plt.show()
	# === 绘制差值图（武器1 - 武器2）===
	diff = [e1 - e2 for e1, e2 in zip(expect1, expect2)]
	plt.figure(figsize=(10, 4))
	plt.axhline(0, color='gray', linestyle='--')
	plt.plot(hp_range, diff, label='Weapon1 - Weapon2', color='purple', marker='^')
	plt.xlabel('Monster HP')
	plt.ylabel('Expected Hit Difference')
	plt.title('Expected Hits Difference: Weapon1 - Weapon2')
	plt.legend()
	plt.grid(True)
	plt.tight_layout()
	plt.show()

Test 2 :

暴击机制

CRIT_CHANCE = 0.2 # 暴击率

CRIT_MULTIPLIER = 2 # 暴击伤害倍率

Test 3 :

def simulate_kill(hp, damage_range, trials):

total_attacks = 0

for _ in range(trials):

current_hp = hp

attacks = 0

crit_chance = BASE_CRIT_CHANCE

while current_hp > 0:

damage = random.choice(damage_range)

if random.random() < crit_chance:

damage *= CRIT_MULTIPLIER

crit_chance = BASE_CRIT_CHANCE # 暴击后重置暴击率

else:

crit_chance += BASE_CRIT_CHANCE # 未暴击时增加暴击率

crit_chance = min(crit_chance, 1.0) # 暴击率不超过100%

current_hp -= damage

attacks += 1

total_attacks += attacks

return total_attacks / trials

摘要：